Приложение 4

Примеры задач по эконометрике 

	В настоящем приложении приведены примеры типовых задач, которые решаются на занятиях по эконометрике на факультете "Инженерный бизнес и менеджмент" МГТУ им. Н.Э.Баумана. 

Проверка однородности двух независимых выборок

1. В первой случайной репрезентативной выборке объема n1 положительный ответ дали m1 опрошенных (респондентов), а во второй случайной репрезентативной выборке объема n2 положительный ответ дали m2 опрошенных. Указать доверительные границы для долей (вероятностей положительного ответа в соответствующих генеральных совокупностях) с доверительной вероятностью 0.95 и проверить гипотезу о равенстве долей (уровень значимости =0.05): 
Табл.1. Исходные данные для задачи 1.
	n1	M1	n2	m2	
Вариант 1	400	300	600	500	
Вариант 2	857	673	1254	856	

2. Для двух независимых выборок объемов n1 и n2 даны выборочные средние арифметические  и  выборочные средние квадратические отклонения соответственно. Указать доверительные границы для математических ожиданий (с доверительной вероятностью 0.95) и проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий с помощью критерия Крамера-Уэлча (уровень значимости =0.05):
Табл.2. Исходные данные для задачи 2.
	n1		sx	n2		sy	
Вариант 1	100	13,7	7,3	200	12,1	2,5	
Вариант 2	213	10,3	5,3	308	12,2	1,7	

3. Проверить гипотезу об однородности функций распределения с помощью критерия Вилкоксона (на уровне значимости =0.05):
Табл.3. Исходные данные для задачи 3.
1 выборка	33	27	12	27	39	42	47	48	50	32	
2 выборка	11	20	30	31	22	18	17	25	28	29	

Проверка однородности связанных выборках

4. Для каждого из N = 20 объектов даны значения Xj и Yj , j = 1,2,…,N, результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков. Необходимо проверить, есть ли значимое различие между значениями двух признаков или же это различие может быть объяснено случайными отклонениям значений признаков. Другими словами, требуется проверить однородность (т.е. отсутствие различия) связанных выборок.

Табл.4. Исходные данные для задачи 4.
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
Xj	74	79	65	69	71	66	71	73	72	68	
Yj	73	65	71	69	70	69	78	70	60	62	
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	
Xj	70	69	76	74	72	69	74	72	77	75	
Yj	61	67	73	67	73	64	67	65	63	70	

	Проверку однородности на уровне значимости 0,05 проведите с помощью трех критериев:
1) критерия знаков (основанного на проверке гипотезы р = 0,5 для биномиального распределения с использованием теоремы Муавра-Лапласа);
2) критерия для проверки равенства 0 математического ожидания (критерий основан на асимптотической нормальности выборочного среднего арифметического, деленного на выборочное среднее квадратическое отклонение);
3) критерия Орлова (типа омега-квадрат) для проверки гипотезы симметрии функции распределения (разности результатов измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов для двух признаков) относительно 0.

Метод наименьших квадратов
 
5. Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а  xk – зависимая (например, индекс инфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
xk = a tk + b + ek , k = 1,2,…,n, 
где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость.

Табл.5. Исходные данные для задачи 5.
tk	1	3	4	7	9	10	
xk	12	20	20	32	35	42	

Методом наименьших квадратов оцените параметры a и b линейной зависимости. Выпишите восстановленную зависимость.
Вычислите восстановленные значения зависимой переменной, сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условие точности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных).
Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсию погрешностей.
Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнюю доверительные границы для него  (для доверительной вероятности 0,95).
Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы для него для момента  t =  12.
Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будет увеличена? А если она будет уменьшена?

Индекс инфляции

6. На основе данных табл.6 рассчитайте индекс инфляции с 14.03.1991 по 14.03.2001 на основе потребительской корзины из продуктов №№ 3, 5, 8, 13, 21, 25.
 
Табл.6. Номенклатура, годовые нормы потребления и цены (руб.) 
№ п/п	Наименование продукта питания	Годовая норма, кг	Цена на 14.03.1991	Цена на 14.03.2001	
1	Хлеб пшеничный 	59,8	0-50	12	
2	Хлеб ржаной	65,3	0-20	10	
3	Мука пшеничная 	18,5	0-46	10	
4	Картофель	124,22 	0-10	9	
5	Капуста	30,4	0-20	8	
6	Помидоры	2,8	0-85	80	
7	Столовые корнеплоды	40,6	0-20	9	
8	Прочие (лук)	27,9	0-50	8	
9	Яблоки свежие	15,1	1-50	20	
10	Сахар	19,0	0-90	21	
11	Говядина	4,4	2-00	85	
12	Субпродукты (печень)	0,5	1-40	45	
13	Птица	16,1	2-40	52	
14	Колбаса докторская	0,4	2-30	95	
15	Копчености	0,3	3-70	200	
16	Рыба свежая (минтай)	10,9	0-37	80	
17	Сельди 	0,8 	1-40 	40	
18	Молоко, кефир	110,0	0-32	17	
19	Сметана, сливки	1,6	1-70	50	
20	Масло животное	2,5	3-60	70	
21	Творог	9,8	1-00	45	
22	Сыр и брынза	2,3	3-60	70	
23	Яйца, десяток	15,2	0-90	20	
24	Масло растительное	3,8	1-80	26	
25	Маргарин	6,3	1-20	35	

7. Гражданин Иванов в марте 1991 г. получил 150 руб., а в марте 2001 г. - 4000 руб. Во сколько раз изменился его реальный доход за 10 лет? Увеличился или уменьшился?
8. За январь индекс инфляции составил 5 % , а за февраль - 2 % . Чему равен индекс инфляции за два месяца? Каков средний уровень инфляции? Можно ли в данном случае складывать проценты инфляции?
9. Выразите текущий курс доллара США в ценах марта 1991 г. 
В задачах 2 и 4 рекомендуется принять, что индекс инфляции за 10 лет (март 1991 г. - март 2001 г.) равен 40.

Упорядочения по средним рангам и по медианам
 
10. В таблице 7 приведены упорядочения (кластеризованные ранжировки), данные семью экспертами.

Табл.7. Исходные данные к задаче 10.
Эксперты	Упорядочения	
1	2 < 3 < 6 < 7 < 1 < 4 < 5	
2	3 < {2, 6} < 7< {1, 5}< 4	
3	2 < 3 < 7 < 1 < 6 < {4, 5}	
4	6 < {3, 7} < 2 < 5 < 4 <1	
5	2 < 3 < {6,7} <  4 < 1 <5	
6	{2, 3} < 1 < 6 < 4 < 5 <7	
7	3 < 6 < 2 < 1 < 4 < 5 < 7	

Найти:
1)	упорядочение по средним рангам;
2)	упорядочение по медианам;
3)	согласующую их кластеризованную ранжировку.

Медиана Кемени

11. Дана матрица попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов. Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов: 
Табл.8. Исходные данные для задачи 11.
0	2	13	1	7	4	10	3	11	
2	0	5	6	1	3	2	5	1	
13	5	0	2	2	7	6	5	7	
1	6	2	0	5	4	3	8	8	
7	1	2	5	0	10	1	3	7	
4	3	7	4	10	0	2	1	5	
10	2	6	3	1	2	0	6	3	
3	5	5	8	3	1	6	0	9	
11	1	7	8	7	5	3	9	0	

Эконометрика качества (статистический приемочный контроль)

12. Для плана (n, 0) с  n = 27 найти приемочный уровень дефектности.
13. Для плана (n, 0) предел среднего выходного уровня дефектности не превышает t = 0,02. Каково минимально возможное  n?
14. Даны приемочный уровень дефектности pпр =  0,03 и браковочный уровень дефектности pбр  =  0,09. Указать какой-либо допустимый план вида (n,0), т.е. план, значение оперативной характеристики которого в точке pпр  не меньше 
0,95, а в точке pбр не больше 0,10.